|
|
 |
Условие
a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.
Решение
Назовём пару (a, b) хорошей, если (4a² – 1)² делится на 4ab – 1.
b²(4a² – 1)² – a²(4b² – 1)² делится на (4a² – 1)b + (4b² – 1)a = (a + b)(4ab – 1), а поэтому и на 4ab – 1. Отсюда следует (поскольку a² и 4ab – 1 взаимно просты), что если пара (a, b) хорошая, то и пара (b, a) хорошая.
Среди хороших пар есть тривиальные – все пары вида (a, a).
Назовём число плохим, если оно входит в нетривиальную хорошую пару. Пусть a – наименьшее плохое число, а b > a входит с ним в одну хорошую пару.
Заметим, что число (поскольку 4ab – 1 > 4a² – 1). Кроме того, d делится на 4a (поскольку (4a² – 1)² + 4ab – 1 делится на 4a, а 4a и 4ab – 1 взаимно просты). Поэтому число b1 = d/4a – целое и меньше a. Но (4a² – 1)² делится на 4ab1 – 1 = d – 1, то есть (a, b1) – хорошая пара. Противоречие.
