ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110778
Темы:    [ Ломаные ]
[ Теорема синусов ]
[ Системы точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Hiacinthos

Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.


Решение

Пусть O – точка пересечения прямых. Возьмём на прямой l1 точку A1 и найдём на l3 такую точку A2, что середина B отрезка A1A2 лежит на прямой l2 (см. рис.). Применяя теорему синусов к треугольникам OA1B и OA2B, получаем, что  

Аналогично по точке A2 построим на прямой l5 такую точку A3, что середина A2A3 лежит на l4 и т.д. Перемножив полученные соотношения, получим, что A6 совпадает с A1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2006
Класс
Класс 10
задача
Номер 101

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .