Задача 110787

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Две равные окружности пересекаются в точках A и B . P – отличная от A и B точка одной из окружностей, X , Y – вторые точки пересечения прямых PA , PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через P и перпендикулярная AB , делит одну из дуг XY пополам.

Решение

Рассмотрим случай, когда P лежит внутри второй окружности (рис.8.4). Пусть Q точка пересечения прямой, проходящей через P и перпендикулярной AB , лежащая вне первой окружности. Тогда QPX= (+)/2 , QPY=(+)/2 . Но (-)/2= PBA- PAB= QPX- QPY , следовательно дуги QX и QY равны. Другие случаи рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	8
задача
Номер	84