Задача 110788

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Авторы: Гуровиц В.М., Френкин Б.Р.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

Решение

Ответ: нет. Предположим противное, и пусть AB – наибольшая сторона многоугольника, CD – наименьшая диагональ ( AB и CD могут иметь один общий конец), E – вершина, лежащая от CD по другую сторону, чем A и B (рис.8.5). Тогда, так как AE AB и BE AB , AEB 60^o . С другой стороны, так как CE CD и DE CD , CED 60^o . Но CED> AEB – противоречие.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	8
задача
Номер	85