Задача 110789

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .

Решение

Пусть A₁ , B₁ , C₁ – точки, симметричные P относительно BC , CA , AB . Так как CA₁=CP=CB₁ , серединный перпендикуляр к отрезку A₁B₁ совпадает с биссектрисой угла A₁CB₁ . Так как A₁CB₁=2 ACB , эта биссектриса проходит внутри угла ACB (рис.8.6). Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам A₁C₁ и B₁C₁ проходят внутри соответствующих углов треугольника ABC . Следовательно, центр Q окружности, описанной около треугольника A₁B₁C₁ , лежит внутри треугольника ABC . Так как треугольник A'B'C' получается из треугольника A₁B₁C₁ гомотетией с центром P и коэффициентом , центр окружности, описанной около A'B'C' , совпадает с серединой отрезка PQ и, значит, лежит внутри ABC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	8
задача
Номер	86