Задача 110827

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность, а около треугольника BCD описана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если  BC = 3,  а радиус описанной окружности треугольника ABC равен ⁵/₂.

Решение

  Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, поэтому  AB = 5.  По теореме Пифагора  AC = 4.
  Пусть O₁ – центр, r – радиус вписанной окружности треугольника ACD, O₂ – центр описанной окружности треугольника BCD, K и L – середины отрезков BС и BD. Из подобия треугольников BKD и DLO₂ получаем, что  DO₂ = ^BD/_DK·DL = DO₂ = ²⁵/₁₆.
  Как известно,  r = ^2S_ADC/_AC+AD+CD = ^S_ABC/_AC+AD+CD = ⅔,  поэтому  DO₁ = ½ BC – r = ²⁵/₁₆.  Следовательно,  

Ответ

⁸⁵/₄₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5780