Задача 110834

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ) вписан в окружность. Прямая CD , перпендикулярная AB , пересекает окружность в точке P . Касательная к окружности, проходящая через точку P , пересекает прямую AB в точке Q . Найдите отрезки PA и PQ , если AC=5 , ABC = 2 arccos .

Решение

Будем считать, что точка D лежит на прямой AB . Пусть BM – высота и медиана треугольника ABC . Обозначим ABM = α . Тогда

cos α = , sin α = ,

sin 2α = 2 sin α cos α = 2· = , cos 2α = = ,

sin 3α = sin(α+2α) = sin α cos 2α+ cos α sin 2α = · + · = .

cos 3α = = .
Если R – радиус описанной окружности треугольника ABC , то
R = = = = .
Вписанные углы ABP и ACP опираются на одну и ту же дугу, поэтому
ABP = ACP = ABM = α,
значит,
PBC = ABP+ ABC = α+2α = 3α.
Из теоремы об угле между касательной и хордой
CPQ = PBC = 3α.
Следовательно,
PA = 2R sin ABP = 2R sin α = 3· = ,

CP = 2R sin PBC = 3· = ,

CD = AC cos ACD = AC cos α = 5· = ,

PD = CP-CD = - =.
Наконец, из прямоугольного треугольника PDQ находим, что
PQ= = = =6.

Ответ

, 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5787