Дана окружность и её хорда AB . Для всех точек C окружности, отличных от A и B рассматриваются параллелограммы ABCD . Найдите геометрическое место: а) точек D ; б) центров параллелограммов ABCD .

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана окружность и её хорда AB . Для всех точек C окружности, отличных от A и B рассматриваются параллелограммы ABCD . Найдите геометрическое место: а) точек D ; б) центров параллелограммов ABCD .

Решение

а) При параллельном переносе на вектор вершины B и C параллелограмма ABCD перейдут в вершины A и D соответственно, вершина A – в некоторую точку A1 , а данная окружность S – в равную ей окружность S1 , проходящую через точки A , A1 и D (рис.1). Следовательно, вершина D каждого параллелограмма ABCD лежит на окружности S1 . Обратно, для каждой отличной от A и A1 точки D окружности S1 на окружности S найдётся такая точка C , что четырёхугольник ABCD – параллелограмм. б) Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам, точка M пересечения диагоналей каждого параллелограмма ABCD есть середина хорды AC (рис.2). Геометрическое место середин M хорд AC данной окружности (точка A фиксирована, а точка C – любая точка окружности, отличная от A и B ) есть окружность, гомотетичная данной с центром гомотетии A и коэффициентом , без точки A и середины отрезка AB .

Ответ

а) Окружность без двух точек; б) окружность без двух точек.

Источники и прецеденты использования