Задача 110871

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Один из углов треугольника равен , радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен 16(6+) . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Пусть вписанная окружность с центром O касается сторон BC , AC и AB треугольника ABC в точках A1 , B1 и C1 соответственно, BAC = . Обозначим BA1=BC1=x , CA1= CB1=y . Тогда BC = x+y . Из прямоугольного треугольника AOB1 находим, что

AB1 = = .
Обозначим tg = t и, учитывая, что tg = -1 , воспользуемся формулой tg α = . Поучим уравнение -1 = . Поскольку < , условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения: t = 1+ . Тогда
AC1= AB1 = = =4(-1).
По условию задачи 2x+2y+ 8(-1) = 16(6+) , откуда находим, что x+y= 4+52 . Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC . По теореме синусов
R = = = = 4+26.

Ответ

26+4 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5735