Задача 110875

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) касается отрезка AC в точке F , пересекает отрезок BC в точке G , проходит через точку B и пересекает отрезок AB в точке E , причём AE = a , BFG = γ . Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть R – радиус данной окружности, O – её центр. Вписанные в данную окружность углы BEG и BFG опираются на одну и ту же дугу, поэтому BEG = BFG = γ . Вписанный угол BGE опирается на диаметр BE , поэтому BGE = . Из прямоугольного треугольника BGE находим, что EBG = - BEG = - γ . Тогда

BAC = = = +
как угол при основании равнобедренного треугольника ABC . Поскольку OF AC (как радиус окружности, проведённый в точку касания), треугольник AOF – прямоугольный, поэтому
OF = AO sin OAF = (AE+EO) sin BAC,
или
R = (a+R) sin (+).
Из этого уравнения находим, что R= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5739