Задача 110879

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку A проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B, а другая пересекает эту окружность в точках C и D так, что D лежит на отрезке AC. Найдите AB, CD и радиус окружности, если  BC = 4,  BD = 3,  ∠BAC = arccos ⅓.

Решение

  Обозначим  ∠BAC = α,  AB = x.  По условию  sin α = .  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠ABD = ∠BCD,  поэтому треугольники ABD и ACB подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен  ^BD/_BC = ¾.  Значит,  AD = ¾ AB = ^3x/₄,  AC = ⁴/₃ AB = ^4x/₃.
  По теореме косинусов  BC² = AB² + AC² – 2AB·AC cos α,  или  16 = x² + ¹⁶/₉ x² – 2x·^4x/₃·⅓ = ¹⁷/₉ x²,  откуда  x = ,  CD = AC – AD = ^7x/₁₂ = .
  По теореме синусов  
  Если R – радиус окружности, то  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5743