Задача 110893

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром на диагонали AC параллелограмма ABCD касается прямой AB и проходит через точки C и D . Найдите стороны параллелограмма, если его площадь S= , а BAC = arcsin .

Решение

Пусть O – центр окружности, F – точка касания окружности с прямой AB . Обозначим OC=OD=OF=R , AB=CD=x , AD=BC=y , ACD = BAC = α . Тогда

sin α = , cos α = .
Продолжим радиус OF до пересечения с хордой CD в точке M . Так как OF AB и CD || AB , то OM CD , значит, M – середина CD . Из прямоугольного треугольника OMC находим, что
R=OC = = = , OM = OC sin α = R = .
Тогда
FM = OF+OM = R+R = R = · = ,
а т.к. MF – высота параллелограмма ABCD , то S=CD· MF , или = x· , откуда AB = x = . Пусть P – проекция вершины C на прямую AB . Тогда CP=MF= . Из прямоугольного треугольника APC находим, что
AC = = = = =3.
По теореме косинусов
y2=BC2 = AB2+AC2-2AB· AC cos BAC = 2+9-2· · 3· = 11-8=3.
Следовательно, BC= .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5855