Задача 110899

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD  (∠D = 90°,  BC || AD)  взята точка Q так, что  BQ : QD = 1 : 3.  Окружность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую BC в точках P и M. Найдите длину стороны AB, если  BC = 9,  AD = 8,  PM = 4.

Решение

  Пусть E – точка касания окружности с прямой AD, а F – проекция центра Q окружности на прямую BC. Тогда точки E, Q и F лежат на одной прямой, а F – середина PM. Значит,  FP = FM = 2.  Обозначим  QE = QP = QM = R.  Предположим, что точка P лежит между C и M. Из подобия треугольников QFB и QED находим, что  QF = ^OB/_OD·QE = ^R/₃.  По теореме Пифагора  QP² = QF² + FP²,  или  R² = ¹/₉ R² + 4,  откуда  R = ,
EF = QE + QF = ^4R/₃ = 2.
  Пусть H – проекция точки A на прямую BC. Тогда BH = BC – CH = BC – AD = 1,  AH = EF = 2.
  Из прямоугольного треугольника ABH находим, что  AB² = AH² + BH² = 9.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5871