Задача 110931

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вписанные окружности граней SBC , SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы , и соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA , причём SK=5 . Найдите длину отрезка AK , периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC .

Решение

Заметим, что вписанные окружности треугольников SBC , SAC и SAB попарно касаются, причём точки касания лежат на боковых рёбрах пирамиды. Одна из них – точка K , а точки касания, лежащие на боковых рёбрах SB и SC обозначим через L и M соответственно. Пусть D , E и F – точки касания окружностей с рёбрами AB , BC и AC соответственно. Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, SL=SM = SK=5 . Обозначим

AK=AD=AF=x, BL=BD=BE = y, CM=CE=CF = z.
Записав площадь каждой из боковых граней по формуле Герона и по формуле S=p· r , где p –полупериметр, а r – радиус вписанной окружности треугольника, получим систему уравнений

Поскольку x>0 , y>0 , z>0 , задача сводится к решению системы

Выразим y и z через x из второго и третьего уравнений соответственно и подставим найденные выражения в первое:

После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 19x2-98x-245= 0 , из которого находим, что AK = x=7 . Тогда BL = y = 3 , CM = z = 2 . Следовательно, периметр треугольника ABC равен 2(x+y+z) = 24 , полупериметр p=12 , S_{Δ ABC} = = 6 , а радиус вписанной окружности r= = .

Ответ

7; 24; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8803