Задача 110939

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортогональное проектирование ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD угол BAD прямой, угол ABC равен arctg 2 и AB=AD . Квадрат KLMN расположен в пространстве так, что его центр совпадает с серединой отрезка AB . Точка A лежит на стороне LK и AL < AK , точка M равноудалена от точек A и D . Расстояние от точки L до ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно , а расстояние от точки N до ближайшей к ней точки трапеции ABCD равно . Найдите площадь трапеции ABCD и расстояние от точки M до плоскости ABCD .

Решение

Пусть O – середина стороны основания AB трапеции ABCD . Поскольку точка O – центр квадрата KLMN и точка A лежит на стороне KL этого квадрата, точка B , симметричная точке A относительно O , лежит на противоположной стороне MN квадрата KLMN , причём AL = BN = . Обозначим AB =AD = a , BAK = α . Тогда, если E – проекция точки C на основание AB трапеции ABCD , то

BE = CE ctg ABC = AD ctg arctg 2 = a· = .
Пусть F – середина KL . Точка F лежит между точками A и K , т.к AL < AK . Из прямоугольных треугольников AOF и OFK находим, что
AF = AO cos FAO = cos α, FK = FO = AO sin FAO = sin α.
Поэтому
AK = AF+FK = cos α+ sin α= ( cos α+ sin α).
Пусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость квадрата ABCD . Тогда M'A и M'D – проекции на плоскость ABCD равных наклонных MA и MD , поэтому M'A=M'D . Значит, высота M'Q равнобедренного треугольника AN'D является его медианой, т.е. AQ=DQ = . Пусть P – проекция точки M' на прямую AB пересечения плоскостей данных квадрата и трапеции. Тогда MPM' – линейный угол двугранного угла между плоскостями квадрата и трапеции. Обозначим MPM'=β . Из прямоугольных треугольников MPB и MM'P находим, что
MP = BM sin MBA = AK sin α = ( cos α+ sin α) sin α,

M'P = MP cos MPM' = ( cos α+ sin α) sin α cos β.
Поскольку AQM'P – прямоугольник, M'P=AQ= , или
( cos α+ sin α) sin α cos β = ,
откуда
( cos α+ sin α) sin α cos β = 1.
Пусть L' – проекция точки L на плоскость квадрата ABCD , а G и H – проекции точки L' на прямые AB и AD соответственно. Тогда LGL' – также линейный угол между плоскостями квадрата и трапеции, поэтому LGL'=β . Заметим, что H – ближайшая к L точка квадрата ABCD , поэтому LH= . Из прямоугольных треугольников ALH , LGL' и ALG находим, что
L'G = AH = = = , LG = = ,

LG = AL sin LAG = sin α.
Таким образом = sin α . Из системы

находим, что sin (45^o+ α) = , а т.к. α>45^o (как внешний угол треугольника ALO ), то
α + 45^o = 180^o - arcsin , α = 180^o - 45^o- arcsin =135^o- arcsin .
Тогда
sin (α-45^o) = sin (90^o- arcsin )= cos ( arcsin ) = .

sin α = sin (135^o- arcsin )=

= sin 135^o cos ( arcsin ) - cos 135^o sin ( arcsin )= (+)= ,

cos β = = =,

tg β = = = .
Применяя теорему синусов к треугольнику AOL получим, что
= , = .
Следовательно,
a = =2.
Тогда, если S – площадь трапеции ABCD , то
S= (AB+CD)· AD = (a+a)a =a2 = · 60 = 45.
Наконец, из прямоугольного треугольника MPM' находим расстояние от точки M до плоскости ABCD :
MM' = M'P tg β = · =· = .

Ответ

S=45 , d = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8831