Задача 110957

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.

Решение

Пусть O – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD . Центр полусферы совпадает с точкой O , полусфера касается боковых граней в точках, лежащих на апофемах. Пусть M – середина стороны BC квадрата ABCD , K – точка касания полусферы с боковой гранью PBC . Тогда точка K лежит на отрезке PM , OK PM и OK=1 . Обозначим высоту PO пирамиды через x , сторону основания – a , угол боковой грани с плоскостью основания – α . Тогда

POK = PMO - α, OM = a.
Из прямоугольного треугольника POK находим, что cos α = = . Тогда sin α = = . Из прямоугольного треугольника KOM находим, что
= OM = = = .
тогда a= . Пусть S(x) – площадь полной поверхности пирамиды. Тогда
S(x) = a2+ = ()2+ ()2· x =

=+ = = .
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции S(x)= на промежутке [h; +) , где h>1 . Найдём производную этой функции и её критические точки, принадлежащие данному промежутку:
S'(x) = 4· = .
Если h 2 , то на данном промежутке критических точек нет, производная на этом промежутке положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, S_min =S(h) = . Если 1<h<2 , то на промежутке [h; +) есть одна критическая точка x=2 . При переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, точка x=2 – точка минимума. В этом случае S_min = S(2)=16 . Это и есть наименьшее значение S(x) на промежутке [h; +) при h 2 .

Ответ

Если h < 2 , то S_min = S(2)=16 ; если h 2 , то S_min =S(h) = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8859