Задача 110963

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  пересекаются в точке P.
Найдите площадь треугольника ABC, если  CP = 5,  PE = 2.

Решение

  На продолжении медианы AD за точку D отложим отрезок DK, равный AD. Тогда четырёхугольник ABKC – параллелограмм. Пусть
AB = BC = CK = 2x.  Треугольник APE подобен треугольнику KPC (по двум углам), поэтому  AE = CK·^PE/_PC = ^4x/₅ x,  BE = AB – AE = ^{6 x}/₅.
  По теореме Пифагора  BC² = BE² + CE²,  или  4x² = ³⁶/₂₅ x² + 49,  откуда  x = ³⁵/₈.  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·CE = 7x = ²⁴⁵/₈.

Ответ

²⁴⁵/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5835