Задача 110975

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD , AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.

Решение

Пусть KQ , KN=3 , KM=6 и KP = 5 – перпендикуляры, опущенные из точки K на прямые CD , AD , AB и BC соответственно. Обозначим CD=KC=KD = a , AD=BC=b , KDN = α . Тогда

KCP = BCD - 60^o = (180^o- ADC) - 60^o= 120^o- ADC = 120^o - (α+60^o) = 60^o-α.
Из прямоугольных треугольников DKN и CKP находим, что
a=KD = = , a=KC = = .
Значит, = , или 15 sin α= 3( cos α - sin α) . Отсюда находим, что tg α = . Тогда
cos α = = , sin α = ,
Следовательно,
a== , KQ==· =7, MQ=MK+KQ=6+7=13.
Заметим, что NP и MQ – высоты параллелограмма ABCD , поэтому BC· PN = CD· MQ , откуда
b=BC = = = .
Следовательно,
AB+BC+CD+AD = 2(CD+BC)=2(+)= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5847