Задача 110981

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ) вписана окружность. Через точку M , лежащую на стороне AB , проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке N . Найдите боковую сторону треугольника ABC , если AC=CN=a , MB=AB .

Решение

Пусть окружность касатся прямых AB , AC и MN в точках P , S и T соответственно. Обозначим AB=x , BAC= α . Тогда

AP = AS = AC=, BM=x, MT=MP=AB-AP-BM=x-a-x= x-a,

NT=NS = NC+CS=a+a=a, MN=NT+MT=a+(x-a)= a+x,

cos α = cos BAC = = .
По теореме косинусов
MN2=AM2+AN2-2AM· AN cos α,
или
(a+x)2= (x)2+4a2-2· x· 2a· , x=3a-a.
Отсюда находим, что x=a .

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5863