Задача 110989

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильную треугольную пирамиду вписаны два шара. Первый шар радиуса r касается основания пирамиды и её боковых граней. Второй шар касается первого шара внешним образом и также боковых граней пирамиды. Найдите сумму объёмов шаров, если объём пирамиды является минимально возможным.

Решение

Пусть сторона основания ABC данной правильной треугольной пирамиды равна a , а высота PH пирамиды равна h . Ясно, что h>2r , а первый шар касается боковой грани APB в точке K , лежащей на апофеме PM , содержащейся в грани APB . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту PH и апофему PM , лежащую в боковой грани ABP . Обозначим PMH= α . Тогда

MH = , tg α = = = ,

cos α = = = ,
а т.к. центр шара лежит на высоте пирамиды и POK = PMH = α , то = cos α , или = . Из этого уравнения находим, что a2 = . Пусть V(h) – объём данной пирамиды с высотой h . Тогда
V(h) = S_{Δ ABC}· PH = · · h = · · h = .
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции V(x)= на промежутке (2r; +) . Найдём производную этой функции и её критические точки, принадлежащие данному промежутку:
V'(x) = r· = r2· .
Данному промежутку принадлежит одна критическая точка h=4r . При переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+", значит, на промежутке (2r; 4r) функция убывает, а на промежутке (4r; +) – возрастает. Следовательно, h=4r – точка минимума, т.е. при h=4r пирамида имеет наименьший возможный объём. Пусть Q – центр второго шара, x – радиус этого шара. Второй шар касается боковой грани APB в некоторой точке L , также лежащей на апофеме PM . Из подобия треугольников PQL и POK следует, что = , или = = , откуда находим, что x= . Следовательно, сумма объёмов шаров равна
π r3 + π ()3 = π r3.

Ответ

π r3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8861