Условие
Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого
шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между
серединами равно 
/2 умноженное на сумму их длин.
Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.
Решение
Доказательство.
Лемма.
Рассмотрим треугольник Δ PQR с углом 
QPR
π/3 ,
L - середина QR . Тогда PL
QR/2 причем равенство
достигается только для правильного треугольника.
Доказательство леммы.
Рассмотрим равносторонний треугольник QRS такой, что точки P и
S лежат по одну сторону от прямой QR . Ясно, что тогда P лежит
внутри описанной около треугольника QRS окружности, а, значит, и
внутри круга с центром L и радиусом QR/2 . Лемма
доказана.
Вернемся к решению задачи. Без ограничения общности можно считать
что главные диагонали AD и BE шестиуглольника ABCDEF образуют
угол π/3 . P - их точка пересечения. Воспользуемся нашей
леммой. Имеем
MN=/2(AB+DE) PM+PN MN.
(
M ,
N -
середины сторон
AB и
DE соответственно. Из леммы следует, что
треугольники
ABP и
DEP равносторонние.
Диагональ
CF образует угол
π/3
с диогональю
AD либо с
BE . В силу симметрии, без ограничения общности можно считать, что
AQFπ/3
, где
Q - точка пересечения диагоналей
AD и
CF . Точно также, как и раньше, воспользуемся леммой и получим, что
треугольники
AQF и
CQD являются равносторонними. Следовательно,
BRC=π/3
, где
R - точка пересечения
BE и
CF .
Аналогично устанавливается равносторонность треугольников
BCR и
EFR . Задача решена.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Международная Математическая Олимпиада |
|
год |
|
Год |
2003 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
