Задача 111059

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали BD и AC равны стороне AB . Найдите угол BCD и сторону AB , если угол CDA – прямой, BC=4 , AD=5 .

Решение

Пусть M – проекция вершины B на прямую AD , а K – проекция вершины C на прямую BM . Поскольку MKCD – прямоугольник, то KC=MB и KM=CD . Высота равнобедренного треугольника ABD является его медианой, значит AM=MD = . Обозначим, AB=AC=BD = x . Из прямоугольных треугольников BKC , ACD и BMD находим, что

BK = = = =,

CD = = ,

BM = = = .
Поскольку BK+KM = BM , имеем уравнение
+ = ,
из которого находим, что x= . Из прямоугольного треугольника BKC находим, что
cos BCK = = = .
Следовательно,
BCD = BCK+ KCD = arccos +90^o.

Ответ

arccos +90^o , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4414