|
|
 |
Условие
Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках K, N и M. Известно, что в треугольнике KNM угол M равен 75°, произведение всех сторон равно 9 + 6 , а вершина K делит отрезок AC пополам. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение
Из условия следует, что точка K лежит на стороне AC. Пусть точки M и N лежат на сторонах BC и AB соответственно. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому AB = BC, то есть треугольник ABC – равнобедренный.
Значит, и треугольник KMN – равнобедренный. Поэтому ∠N = ∠M = 75°, ∠K = 30°.
Пусть R – радиус вписанной окружности треугольника ABC (она же – описанная окружность треугольника KLM). Тогда
KN = KM = 2R sin 75°,
MN = 2R sin 30°.
По условию
Согласно задаче 61207 а) следовательно,
По теореме об угле между касательной и хордой ∠ANK = ∠MNK = 75°. Поэтому равнобедренные треугольники AKN и KNM подобны. Значит,
AK : KN = KN : MN,
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине B равен 120°. Следовательно,
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4426 |
