Задача 111073

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45^o . Найдите стороны треугольника ABC .

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

MNC = MKN = 45^o, NMC = MKN = 45^o.
Поэтому ACB = 90^o . Значит, треугольник ABC – прямоугольный, а т.к. ABC = 45^o , то этот треугольник – равнобедренный. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC . Обозначим AN=AK = x . Тогда
AB= 2x, AC = x+1, AC = AB sin 45^o = x.
Из уравнения x+1=x находим, что
x= = +1.
Следовательно,
AB=BC = 2+, AC = 2+2.

Ответ

2+ , 2+ , 2+2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4428