Задача 111082

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вершины A , B и точка пересечения высот треугольника E лежат на окружности, которая пересекает отрезок BC в точке D . Найдите радиус окружности, если CD=4 , BD=5 .

Решение

Пусть BM – высота треугольника ABC . Тогда BM – медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ABC . Обозначим MBC = α . Тогда

BCA = CAB = 90^o-α, AEB = MEK = 180^o-(90^o-α) = 90^o+α.
Вписанные в данную окружность углы ADB и AEB опираются на одну и ту же дугу, поэтому
ADB = AEB = 90^o+α.
По теореме о внешнем угле треугольника
CAD = ADB - ACD = (90^o+α)-(90^o-α) =2α,
поэтому
BAD = BAC - CAD = (90^o-α) - 2α = 90^o-3α.
Известно, что BD = 5 и AB=BC=BD+DC = 5+4=9 . Применяя теорему синусов к треугольнику ABD , получим, что = , или = , а т.к. cos 3α = cos α(4 cos2 α - 3) , то после очевидных упрощений найдём, что cos α = . Если R – искомый радиус, то
R = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5767