ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111092
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 2, прямые BC и AD касаются окружности диаметром в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна 1. Найдите величину угла MBN и длину основания AD .

Решение

Пусть O – центр окружности. Тогда OM BC и OD AD , а т.к. BC || AD , то точки B , O и D лежат на одной прямой, поэтому BD – диаметр окружности. Обозначим, CBN = α , ABD = β . В прямоугольных треугольниках BCD и DAB катет BD – общий, а катет BC треугольника BCD по условию задачи меньше катета AD треугольника DAB , поэтому BDC < ABD , т.е. α < β . Точка N лежит на окружности с диаметром BD , поэтому BND = 90o , значит, DBN = 90o. Следовательно,

MBN = ABD + DBN = β + (90o)= 90o + (β - α) > 90o.

По теореме синусов sin MBN = = , а т.к. MBN > 90o , то MBN = 135o . Обозначим BC = x , AD=y . По условию задачи SABCD = 2 , или · BD = 2 , · = 2 , откуда находим, что x+y = 2 . Пусть K – точка на продолжении основания BC за точку B . Тогда
BAD = ABK = 180o- MBN - CBN = 180o-135o- α = 45o-α.

Из прямоугольных треугольников BCD и DAB находим, что
tg α = = , tg (45o) = = ,

а т.к.
tg (45o) == = = ,

то из уравнения = , находим, что y= . Следовательно, BC=y= .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5807

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .