Задача 111107

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями.

Решение

Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины B1 , A и C куба ABCDA1B1C1D1 . Ортогональная проекция BD диагонали BD1 куба на плоскость основания ABCD перпендикулярна прямой AC , поэтому BD1 AC . Аналогично, BD1 AB1 . Значит, диагональ BD1 перпендикулярна плоскости треугольника AB1C . Кроме того, известно, что диагональ BD1 делится плоскостью треугольника AB1C в отношении 1:2 , считая от точки B (это верно для любого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ). Поскольку через данную точку проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскость треугольника AB1C и есть одна из плоскостей, о которых говорится в условии задачи (она проходит через вершины A , B1 , C и перпендикулярна диагонали BD1 куба). Аналогично докажем, что плоскость треугольника A1C1D также перпендикулярна диагонали BD1 и делит её в отношении 1:2 , считая от вершины D1 . Следовательно, плоскости, о которых говорится в условии задачи, делят диагональ BD1 куба на три равные части. Поскольку единичного диагональ куба равна , каждая из этих частей равна .

Ответ

На три равные части.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7926