Условие
Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости,
перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части
делится диагональ этими плоскостями.
Решение
Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины B1 , A и C
куба ABCDA1B1C1D1 . Ортогональная проекция BD диагонали
BD1 куба на плоскость основания ABCD перпендикулярна прямой AC ,
поэтому BD1 
AC . Аналогично, BD1 AB1 . Значит,
диагональ BD1 перпендикулярна плоскости треугольника AB1C .
Кроме того, известно, что диагональ BD1 делится плоскостью
треугольника AB1C в отношении 1:2 , считая от точки B (это
верно для любого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ).
Поскольку через данную точку проходит ровно одна плоскость, перпендикулярная
данной прямой, плоскость треугольника AB1C и есть одна из плоскостей,
о которых говорится в условии задачи (она проходит через вершины A , B1 ,
C и перпендикулярна диагонали BD1 куба).
Аналогично докажем, что плоскость треугольника A1C1D также перпендикулярна
диагонали BD1 и делит её в отношении 1:2 , считая от вершины D1 .
Следовательно, плоскости, о которых говорится в условии задачи, делят диагональ
BD1 куба на три равные части.
Поскольку единичного диагональ куба равна 
, каждая из этих частей
равна 
.
Ответ
На три равные части.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7926 |
