Задача 111108

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали AC и BD основания ABCD пересекаются в точке M , AMB = α . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если B1M=b , BMB1 = β .

Решение

Из прямоугольного треугольника MBB1 и равнобедренных треугольников AMB и BMC находим, что

BB1 = MB1 sin BMB1 = b sin β, MB = MB1 cos BMB1 = b cos β,

AB = 2MB sin AMB = 2b cos β sin , BC = 2MB cos MCB = 2b cos β cos .
Пусть S – площадь боковой поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Тогда
S = 2(AB+BC)BB1 = 2(2b cos β sin +2b cos β cos ) b sin β=

= 4b cos β · b sin β·( sin + cos )= 4b2 cos β sin β · sin (+)=

=2b2 sin 2β sin .

Ответ

2b2 sin 2β sin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7927