ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111110
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро AA1 также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 60o . Найдите диагональ BD1 .

Решение



Треугольник AA1B – равносторонний, т.к. AA1=AB и BAA1 = 60o . Поэтому A1B = AA1=5 . Аналогично, A1D = 5 . Боковые рёбра A1A , A1B и A1D треугольной пирамиды A1ABD с вершиной A1 равны между собой, значит, высота A1O этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD , т.е. центр квадрата ABCD . Из прямоугольного треугольника OBA1 находим, что

A1O = = = .

Поскольку D1C = A1B = A1A = D1D , точка D1 равноудалена от вершин C и D , поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D , а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD . Поскольку D1K || A1O и D1K =A1O , четырёхугольник A1D1KO – прямоугольник, поэтому OK = A1D1 = 5 . Продолжим отрезок KO до пересечения со отрезком AB в точке M . Тогда M – середина AB и MK = MO+OK = . Из прямоугольных треугольников MKB и KBD1 находим, что
BK = = = ,


BD1 = = = = = 5.




= ++ BD12= (++)2=


=2+2+2+ 2· + 2· + 2· =


=25+25 +25 + 2· 25 cos 120o + 2· 25 cos 90o+ 2· 25 cos 60o= 75


BD1= = 5.


Ответ

5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7929

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .