|
|
 |
Условие
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой
тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка
пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной
сферы лежат на одной прямой.
Решение
Пусть M1 – точка пересечения медиан грани ABC ортоцентрического
тетраэдра ABCD (рис.1), H1 – ортоцентр треугольника ABC , O1 – центр
описанной окружности этого треугольника. Известно, что точки M1 , H1
и O1 лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC ), причём
точка M1 лежит между точками O1 и H1 и M1H1=2M1O1 .
Поскольку тетраэдр ортоцентрический, его высоты пересекаются в одной точке.
Обозначим её H . Тогда точка H лежит на высоте DH1 . Центр O сферы,
описанной около тетраэдра расположен на прямой, перпендикулярной плоскости
основания ABCD и проходящей через центр O1
описанной окружности треугольника ABC .
Прямые DH1 и OO1 параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости.
Плоскость, проходящая через эти прямые, содержит точки H1 и O1 , а значит,
и точку M1 , лежащую на прямой H1O1 . Поэтому медиана DM1 тетраэдра
также лежит в этой плоскости. Следовательно, этой плоскости принадлежит и точка M
пересечения медиан тетраэдра. Таким образом, точки H , O и M расположены
в плоскости, проходящей через вершину D тетраэдра ABCD и прямую Эйлера треугольника
ABC .
Аналогично докажем, что плоскость, проходящая через любую другую вершину
тетраэдра и прямую Эйлера противолежащей грани, содержит точки H , O и M ,
т.е. точки H , O и M лежат в каждой из четырёх указанных плоскостей,
а т.к. эти плоскости не могут совпасть (вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости),
то их пересечением является прямая. Следовательно, точки H , O и M лежат
на этой прямой. Что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что M – середина отрезка OH . Для этого рассмотрим сечения тетраэдра
плоскостью, проходящей через вершину D и прямую Эйлера основания ABC (рис.2). Известно,
что точка M пересечения медиан тетраэдра делит каждую медиану в отношении 3:1,
считая от вершины, поэтому MM1= DM1 . Пусть P – проекция точки M
на прямую O1H1 . Положим O1H1=6x . Тогда
Значит, P – середина отрезка O1H1 , а т.к. MP || HH1 || OO1 , то M – середина отрезка OH . Что и требовалось доказать.
Рассмотрим вектор
то
Точка Q , середина отрезка DK , лежит на высоте DH1 . Аналогично, точка Q лежит на остальных трёх высотах тетраэдра ABCD , т.е. Q совпадает с H . Так как
то
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 7995 |
