Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Решение
Пусть O ─ общая середина отрезков AA₁, BB₁ и DD₁. Тогда AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁. Значит, плоскости ABD и A₁B₁D₁ параллельны. Аналогично, плоскость ADB₁ параллельна плоскости A₁D₁B.
В плоскостях ADB и A₁B₁D₁ возьмём соответственно точки C и C₁ так, что ABCD и A₁B₁C₁D₁ ─ параллелограммы. Поскольку CD ∥ AB, AB ∥ A₁B₁ и A₁B₁ ∥ C₁D₁, то CD ∥ C₁D₁. Поэтому плоскости ABD₁ и DB₁A₁ также параллельны. Шестигранник ABCDC₁D₁A₁B₁ образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.
