ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111118
Тема:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O ─ общая середина отрезков AA₁, BB₁ и DD₁. Тогда AB ∥ AB₁ и AD ∥ AD₁. Значит, плоскости ABD и ABD₁ параллельны. Аналогично, плоскость ADB₁ параллельна плоскости ADB.

В плоскостях ADB и ABD₁ возьмём соответственно точки C и C₁ так, что ABCD и ABCD₁ ─ параллелограммы. Поскольку CD ∥ AB, AB ∥ AB₁ и AB₁ ∥ CD₁, то CD ∥ CD₁. Поэтому плоскости ABD₁ и DBA₁ также параллельны. Шестигранник ABCDCDAB₁ образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8299

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .