ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111119
Условие
Высота равногранного тетраэдра равна h, а высота грани делится точкой пересечения высот этой грани на отрезки, равные h₁ и h₂. Докажите, что h² = 4h₁h₂.
Решение
Рассмотрим тетраэдр ABCB₁. Его противоположные рёбра попарно перпендикулярны, поэтому его высоты пересекаются в одной точке, т.е. этот тетраэдр ─ ортоцентрический. Значит, каждая его высота, в частности BH, проходит через ортоцентр грани. Поэтому H ─ ортоцентр треугольника AB₁C. Пусть прямая AH пересекает B₁C в точке M. Тогда AH = h₁ и MH = h₂, а так как прямая AB перпендикулярна плоскости BCB₁, то AB ⊥ BM. Тогда BH ─ высота прямоугольного треугольника ABM, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
откуда, h² = 4h₁h₂. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке