Задача 111122

Тема:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3, и 4. Найдите угол между его диагоналями.

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = 2, AD = 3, AA₁ = 4. Пусть его диагонали пересекаются в точке O. Сечение параллелепипеда плоскостью ADC₁B₁ ─ прямоугольник со сторонами

AD = B₁C₁ = 3,   DC₁ = AB₁ =

√ AA₁² + A₁B₁²

=

√ 16 + 4

=

2√ 5

.

Обозначим ∠AOD = α. Угол AOD ─ внешний угол равнобедренного треугольника AOB₁,

поэтому ∠C₁AB₁ =

α 2

. Из прямоугольного треугольника AC₁B₁ находим, что

tg

α 2

=

B₁C₁ AB₁

=

3 2√ 5

=

3 √ 5 10

< 1.

Значит,

α 2

< 45°, а α < 90°. Поэтому AOD ─ угол между диагоналями данного

прямоугольного параллелепипеда. Поскольку tg

α 2

=

3 √ 5 10

, то

cos α =

1 − tg²  α 2 1 + tg²  α 2

=

1 −  9 20 1 +  9 20

=

11 29

.

Следовательно, α = arccos

11 29

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8303