ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111125
Условие
Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.
Решение
Докажем, что никакая другая четвёрка вершин куба не может образовывать правильный тетраэдр. В самом деле, три вершины, принадлежащие одной грани куба не могут быть вершинами правильного тетраэдра, так как треугольник с вершинами в этих точках ─ прямоугольный. Остаётся случай, когда две вершины лежат в одной грани куба, а две другие ─ в противоположной. Если это, например, A, B и B₁, C₁, то AB ≠ AC₁, а если A, B и B₁, D₁, то AB ≠ B₁D₁. Остальное аналогично. Таким образом, возможны только случаи, когда две вершины тетраэдра являются концами диагонали грани куба, а две другие ─ концами скрещивающейся с ней диагонали противоположной грани. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке