Условие
Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.
Решение
Рассмотрим куб
ABCDA₁
B₁
C₁
D₁ (
AA₁ ∥
BB₁ ∥
CC₁ ∥
DD₁) с ребром
a.
пирамиды являются правильными тетраэдрами.
Докажем, что никакая другая четвёрка вершин куба не может образовывать правильный тетраэдр. В самом деле, три вершины, принадлежащие одной грани куба не могут быть вершинами правильного тетраэдра, так как треугольник с вершинами в этих точках ─ прямоугольный. Остаётся случай, когда две вершины лежат в одной грани куба, а две другие ─ в противоположной. Если это, например,
A,
B и
B₁,
C₁, то
AB ≠
AC₁, а если
A,
B и
B₁,
D₁, то
AB ≠
B₁
D₁. Остальное аналогично. Таким образом, возможны только случаи, когда две вершины тетраэдра являются концами диагонали грани куба, а две другие ─ концами скрещивающейся с ней диагонали противоположной грани.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8306 |
