Задача 111129

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы α , β и γ . Докажите, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .

Решение

Пусть диагональ AC1 образует с рёбрами AB , AD и AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ( AA1|| BB1|| CC1|| DD1) углы α , β и γ соответственно. Обозначим

AB = x, AD = y, AA1 = z, AC1 = d.
Из прямоугольных треугольников ABC1 , ADC1 и AA1C1 находим, что
cos α = cos BAC1 = = ,

cos β = cos DAC1 = = ,

cos γ = cos A1AC1 = = .
Следовательно,
cos2α + cos2β + cos2γ = ()2 + ()2 + ()2 =

= = = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8310