Задача 111133

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельное проектирование ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Постройте изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , если даны изображения середин отрезков AB1 , BC1 , CD и A1D1 .

Решение

Будем считать, что точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1 и есть изображения вершин параллелепипеда. Предположим, что изображение ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда построено, а точки K , L , M и N – середины отрезков AB1 , BC1 , CD и A1D1 соответственно. Тогда KL – средняя линия треугольника BA1C1 . Поэтому KL || A1C1 и KL= A1C1 . Если F – середина C1D1 , то FN – средняя линия треугольника A1D1C1 . Поэтому FN || A1C1 и FN =A1C1 . Значит, NF || KL и NF = KL . Следовательно, четырёхугольник KNFL – параллелограмм. Аналогично докажем, что если E – середина AD , то четырёхугольник KLME – параллелограмм. Изображения AA1 , BB1 , CC1 и DD1 боковых рёбер параллелепипеда, а также отрезки, соединяющие середины AB и A1B1 , равны и параллельны отрезкам MF и NE . Отсюда вытекает следующее построение. Достроив треугольники KLN и KLM до параллелограммов KLFN и KLME , получим середины F и E рёбер C1D1 и AD соответственно. Через точку K проведём прямую, параллельную NE , и отложим на ней по разные стороны от точки K отрезки KP и KQ , равные половине NE . Получим середины P и Q отрезков AB и A1B1 . Аналогично построим середины G и H отрезков BC и B1C1 соответственно. Таким образом, осталось построить параллелограмм ABCD по серединам M , E , P и G его сторон. Для этого через точки M и P проведём прямые, параллельные EG , а через точки E и G – прямые, параллельные MP . Аналогично строится параллеллограмм A1B1C1D1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8325