Условие
Постройте изображение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ,
если даны изображения середин отрезков AB1 , BC1 , CD
и A1D1 .
Решение
Будем считать, что точки A , B , C , D , A1 , B1 ,
C1 , D1 и есть изображения вершин параллелепипеда. Предположим,
что изображение ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда построено, а
точки K , L , M и N – середины отрезков AB1 , BC1 , CD
и A1D1 соответственно. Тогда KL – средняя линия треугольника
BA1C1 . Поэтому KL || A1C1 и KL= 
A1C1 .
Если F – середина C1D1 , то FN – средняя линия треугольника
A1D1C1 . Поэтому FN || A1C1 и FN =A1C1 .
Значит, NF || KL и NF = KL . Следовательно, четырёхугольник KNFL
– параллелограмм. Аналогично докажем, что если E – середина AD , то
четырёхугольник KLME – параллелограмм. Изображения AA1 , BB1 ,
CC1 и DD1 боковых рёбер параллелепипеда, а также отрезки, соединяющие
середины AB и A1B1 , равны и параллельны отрезкам MF и NE . Отсюда
вытекает следующее построение.
Достроив треугольники KLN и KLM до параллелограммов KLFN и
KLME , получим середины F и E рёбер C1D1 и AD соответственно. Через
точку K проведём прямую, параллельную NE , и отложим на ней по
разные стороны от точки K отрезки KP и KQ , равные половине NE .
Получим середины P и Q отрезков AB и A1B1 . Аналогично построим
середины G и H отрезков BC и B1C1 соответственно. Таким образом,
осталось построить параллелограмм ABCD по серединам M , E , P и G его
сторон. Для этого через точки M и P проведём прямые, параллельные
EG , а через точки E и G – прямые, параллельные MP . Аналогично
строится параллеллограмм A1B1C1D1 .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8325 |
