Задача 111135

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельное проектирование ] [ Призма (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дано изображение призмы ABCA1B1C1 . Постройте изображение точки M пересечения плоскостей A1BC , AB1C и ABC1 . Пусть высота призмы равна h . Найдите расстояние от точки M до оснований призмы.

Решение

Будем считать, что точки A , B , C , A1 , B1 , C1 , M и есть изображения вершин призмы. Пусть P и Q – центры граней AA1B1B и AA1C1C . Точки C и P – общие точки плоскостей A1BC и AB1C , поэтому плоскости A1BC и AB1C пересекаются по прямой CP . Точки B и Q – общие точки плоскостей A1BC и ABC1 , поэтому плоскости A1BC и ABC1 пересекаются по прямой BQ . Прямые CP и BQ лежат в плоскости A1BC . Точка M их пересечения есть точка пересечения плоскостей A1BC , AB1C и ABC1 . Так как P – середина A1B , а Q – середина A1C , то CP и BQ – медианы треугольника A1BC . Значит, M – точка пересечения медиан треугольника A1BC . Пусть D и D1 – ортогональные проекции точки M на параллельные плоскости соответственно ABC и A1B1C1 . Тогда DD1 – высота призмы. Медиана A1R треугольника A1BC делится точкой M в отношении 2:1. Отрезки A1R и D1D с концами в параллельных плокостях A1B1C1 и ABC пересекаются в точке M . Значит, D1M:DM = 2:1 . Следовательно,

DM = DD1 = h, D1M = DD1 = h.

Ответ

h ; h .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8327