|
|
 |
Условие
Дано изображение призмы ABCA1B1C1 . Постройте изображение
точки M пересечения плоскостей A1BC , AB1C и ABC1 .
Пусть высота призмы равна h . Найдите расстояние от точки M до
оснований призмы.
Решение
Будем считать, что точки A , B , C , A1 , B1 , C1 ,
M и есть изображения вершин призмы. Пусть P и Q – центры
граней AA1B1B и AA1C1C . Точки C и P – общие
точки плоскостей A1BC и AB1C , поэтому плоскости A1BC
и AB1C пересекаются по прямой CP . Точки B и Q – общие
точки плоскостей A1BC и ABC1 , поэтому плоскости A1BC
и ABC1 пересекаются по прямой BQ . Прямые CP и BQ лежат
в плоскости A1BC . Точка M их пересечения есть точка пересечения
плоскостей A1BC , AB1C и ABC1 . Так как P – середина
A1B , а Q – середина A1C , то CP и BQ –
медианы треугольника A1BC . Значит, M – точка пересечения медиан
треугольника A1BC .
Пусть D и D1 – ортогональные проекции точки M на параллельные
плоскости соответственно ABC и A1B1C1 . Тогда DD1 –
высота призмы. Медиана A1R треугольника A1BC делится точкой M
в отношении 2:1. Отрезки A1R и D1D с концами в параллельных
плокостях A1B1C1 и ABC пересекаются в точке M . Значит,
D1M:DM = 2:1 . Следовательно,
Ответ
h ;
h .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8327 |
