Задача 111137

Темы:    [ Параллельное проектирование ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD . Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD .

Решение

Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1' – параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D , A1 , B1 , C1 и D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так как при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' – параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1' на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' ) есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α . Следовательно,

S' = S_A1'B1'B'C'D'D1' = 2S_{Δ A}1'B'D'.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8329