ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111137
Темы:    [ Параллельное проектирование ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD . Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD .

Решение

Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1' – параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D , A1 , B1 , C1 и D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так как при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' – параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1' на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' ) есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α . Следовательно,

S' = SA1'B1'B'C'D'D1' = 2SΔ A1'B'D'.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8329

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .