Условие
Пусть проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость
треугольника A1BD . Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в
два раза больше площади проекции треугольника A1BD .
Решение
Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1'
– параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D ,
A1 , B1 , C1 и D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ,
причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так
как при параллельном проектировании сохраняется параллельность
прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' –
параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1'
на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника
A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну
общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' )
есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α .
Следовательно,
S' = SA1'B1'B'C'D'D1' = 2SΔ A1'B'D'.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8329 |
