Информация о задаче

Задача 111138

Темы:	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]
	[	Параллельное проектирование	]
	[	Параллелепипеды (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее значение площади ортогональной проекции прямоугольного параллелепипеда с измерениями a , b и c на некоторую плоскость.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD , то площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD . Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1' – параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D , A1 , B1 , C1 и D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , (рис.1) причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так как при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' – параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1' на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' ) есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α . Следовательно,

S' = S_A1'B1'B'C'D'D1' = 2S_{Δ A}1'B'D'.
Пусть теперь A'B'C'D'A'B'C'D' – ортогональная проекция прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ( AB = a , AD = b , AA1 = c ) на некоторую плоскость. Обозначим через ϕ угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника A1BD . По ранее доказанному
S' = S_{A'B'C'D'A'B'C'D'} = 2S_{Δ A}1'B'D' = 2S_{Δ A}1BD cos ϕ 2S_{Δ A}1BD,
причём равенство достигается, если ϕ = 0^o , т.е. когда плоскость проекций параллельна плоскости треугольника A1BD . Для нахождения площади треугольника A1BD опустим перпендикуляр A1H из вершины A1 на прямую BD (рис.2). По теореме о трёх перпендикулярах AH – высота прямоугольного треугольника ABD . Поэтому
AH = = ,

A1H = = = ,

S_{Δ A}1BD = BD· A1H = · =

= .
Следовательно,
S_max = 2S_{Δ A}1BD = .
Ясно, что если ортогональная проекция точки A лежит вне ортогональной проекции треугольника A1BD на некоторую плоскость, то площадь ортогональной проекции параллелепипеда на эту плоскость будет меньше найденной.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8330