ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111138
Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Параллельное проектирование ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее значение площади ортогональной проекции прямоугольного параллелепипеда с измерениями a , b и c на некоторую плоскость.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника A1BD , то площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника A1BD . Пусть A' , B' , C' , D' , A1' , B1' , C1' и D1' – параллельные проекции вершин соответственно A , B , C , D , A1 , B1 , C1 и D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , (рис.1) причём точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' . Так как при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, то четырёхугольники A'B'B1'A1' , A'B'C'D' и A'D'D1'A1' – параллелограммы. Они делятся своими диагоналями B'A1' , B'D' и D'A1' на равные треугольники. Так как точка A' лежит внутри треугольника A1'B'D' , то каждые два из этих параллелограммов имеют ровно одну общую сторону, а их объединение (шестиугольник A1'B1'B'C'D'D1' ) есть проекция данного параллелепипеда на плоскость α . Следовательно,

S' = SA1'B1'B'C'D'D1' = 2SΔ A1'B'D'.

Пусть теперь A'B'C'D'A'B'C'D' – ортогональная проекция прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 ( AB = a , AD = b , AA1 = c ) на некоторую плоскость. Обозначим через ϕ угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника A1BD . По ранее доказанному
S' = SA'B'C'D'A'B'C'D' = 2SΔ A1'B'D' = 2SΔ A1BD cos ϕ 2SΔ A1BD,

причём равенство достигается, если ϕ = 0o , т.е. когда плоскость проекций параллельна плоскости треугольника A1BD . Для нахождения площади треугольника A1BD опустим перпендикуляр A1H из вершины A1 на прямую BD (рис.2). По теореме о трёх перпендикулярах AH – высота прямоугольного треугольника ABD . Поэтому
AH = = ,


A1H = = = ,


SΔ A1BD = BD· A1H = · =


= .

Следовательно,
Smax = 2SΔ A1BD = .

Ясно, что если ортогональная проекция точки A лежит вне ортогональной проекции треугольника A1BD на некоторую плоскость, то площадь ортогональной проекции параллелепипеда на эту плоскость будет меньше найденной.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8330

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .