Задача 111147

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На боковых рёбрах SA , SB и SC четырёхугольной пирамиды SABCD , основание которой есть квадрат, взяты соответственно точки A1 , B1 и C1 так, что SA1:SA=3:7 , SB1:SB = 2:7 и SC1:SC = 4:9 . Плоскость, проходящая через точки A1 , B1 и C1 пересекает ребро SD в точке D1 . Найдите отношение SD1:SD и отношение объёма пирамиды SA1B1C1D1 к объёму пирамиды SABCD .

Решение

Обозначим V_SABCD = V , = x . Плоскость диагонального сечения SAC пирамиды разбивает её на две равновеликие пирамиды, поэтому V_SABC = V_SACD = V . Тогда

V_SA1B1C1 = · · · V_SABC = · · · V=V,

V_SA1D1C1 = · · · V_SADC = · x · · V=Vx.
Аналогично,
V_SA1B1D1 = · · · V_SABD = · · x· V=Vx,

V_SB1D1C1 = · · · V_SBDC = · x · · V=Vx,
а так как
V_A1B1C1D1 =V_SA1B1C1+V_SA1D1C1 = V_SA1B1D1+V_SB1D1C1,
получим уравнение
V+Vx = Vx+Vx,
из которого находим, что x= . Тогда
V_SA1B1C1D1 = V_SA1B1C1+V_SA1D1C1=

=V+Vx = (+)V= · V = V.

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8639