Задача 111161

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно a и равно диагонали основания ABCD . Через точку A параллельно прямой BD проведена плоскость P , образующая с прямой AD угол, равный arcsin . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырёх прямых, которым принадлежат боковые рёбра пирамиды.

Решение

Плоскость BSD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости P , и пересекает плоскость P по некоторой прямой l . Тогда прямая l параллельна BD . Пусть прямая l пересекает рёбра SB и SD в точках K и N соответственно, а плоскость P пересекает ребро SC в точке M . Тогда четырёхугольник AKMN – сечение пирамиды плоскостью P . Прямая AC – ортогональная проекция на плоскость основания пирамиды наклонной AM к этой плоскости. Поскольку AC BD , по теореме о трёх перпендикулярах AM BD , значит, AM KN , т.е. диагонали четырёхугольника AKMN взаимно перпендикулярны. Следовательно, S_AKMN = AM· KN . Пусть SH – высота пирамиды SABCD , а D' и H' – отрогональные проекции точек соответственно D и H на плоскость P . По условию задачи sin DAD' = . Из прямоугольного треугольника ADD' находим, что

DD' = AD sin DAD' = · = ,
а т.к. прямая DH параллельна плоскости P , то HH'=DD'= . Из прямоугольного треугольника AHH' находим, что
sin HAH' = = = ,
а т.к. HAH' < 90^o , то HAH'= 30^o . Плоскость P проходит через прямую NK , перпендикулярную плоскости ASC , поэтому прямая HH' лежит в плоскости равностороннего треугольника ASC . Значит, точка H' лежит на прямой AM пересечения плоскости P с плоскостью ASC . При этом MAH = 30^o = SAC . Следовательно, AM – биссектриса равностороннего треугольника ASC . Тогда AM – медиана и высота этого треугольника. Прямая CS перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и NK плоскости P , значит, прямая SC перпендикулярна плоскости P , поэтому SC MK . Из равнобедренного треугольника SBC и прямоугольного треугольника SMK находим, что
cos BSC = = = ,

SK = = = a.
Тогда
NK = SK =a, AM = = .
Следовательно,
S_AKMN = AM· KN = · · a= .
Поскольку шар, о котором говорится в условии задачи, касается всех боковых рёбер правильной пирамиды SABCD , его центр O лежит на луче SH , а т.к. шар касается плоскости P , то расстояние от точки O до плоскости P равно радиусу r шара. Перпендикулярные плоскости P и ASC пересекаются по прямой AM , поэтому основание T перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость P , лежит на отрезке AM , значит, точка O – либо центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ASM , либо центр вневписанной окружности этого треугольника, касающейся катета AM . В первом из этих случаев
r = = = ,
во втором –
r = - SM = - = .

Ответ

, , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8783