Задача 111165

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Апофема пирамиды (тетраэдра) ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC , расстояние от середины E ребра AB до плоскости ACD равно h , DAC = , ACD = , угол между ребром DC и гранью ABC равен . Найдите расстояние от точки E до плоскости BCD , угол между ребром AB и гранью ACD , а также угол между гранями ABD и ABC .

Решение

Пусть DH , AP и BF – высоты пирамиды ABCD , G – ортогональная проекция точки E на плоскость грани ADC . Поскольку AF – ортогональная проекция на плоскость ADC наклонной AB , точки A , G и F лежат на одной прямой, причём EG – средняя линия прямоугольного треугольника ABF , поэтому BF=2EG = 2h . Аналогично докажем, что высота AP пирамиды вдвое больше искомого расстояния от точки E до плоскости BCD . Обозначим AD=BC=a . Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC находим, что AC = a и DC=a . Из условия задачи следует, что высота DH – катет прямоугольного треугольника DCH , лежащий против угла в 30^o , поэтому

DH=DC =· a = , CH = DH = .
Тогда
AH = = = .
По теореме о трёх перпендикулярах CH AB , а т.к. треугольник ACB равнобедренный ( CB=AC=a ), то его высота, лежащая на прямой CH , проходит через середину E основания AB . В треугольнике ADB медиана DE является также высотой ( DE AB по теореме о трёх перпендикулярах), поэтому DB=DA = a . Следовательно, треугольник DBC , равный треугольнику DAC по трём сторонам, – также прямоугольный и равнобедренный. По теореме косинусов
cos ACH = = = ,
поэтому
CE = AC cos ACH = a, AE = AC sin ACH = a· = ,
Записав объём пирамиды ABCD двумя способами ( S_{Δ BCD}· AP = S_{Δ ACD}· BF ), найдём, что высота AP равна высоте BF . Следовательно, расстояние от точки E до плоскости BCD равно расстоянию от точки E до плоскости ACD , т.е. h . С другой стороны S_{Δ ACD}· BF = S_{Δ ABC}· DH , или
· a2· 2h = · · a · ,
откуда a=3h . Пусть α – искомый угол между ребром AB и гранью ACD . Из прямоугольного треугольника AGE находим, что
sin α = sin EAG = = = = .
Поскольку DE и CE – высоты равных равнобедренных треугольников ADB и ABC , опущенные на общее основание AB , линейный угол двугранного угла между гранями ADB и ABC есть угол DEC . По теореме косинусов
cos DEC = = = -.
Следовательно, DEC = 120^o .

Ответ

h , arcsin , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8787