Условие
В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC , у которого
AB=15
, BC=20 , а радиус окружности, описанной около этого
треугольника, равен 5
. На сторонах треугольника ABC как на
диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке O . Точка O
является центром четвёртой сферы, причём вершина пирамиды S есть точка
касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости
основания ABC . Площадь части четвёртой сферы, которая заключена внутри
трёхгранного угла, образованного лучами OA , OB и OC , равна 8π .
Найдите объём пирамиды SABC .
Решение
Поскольку точка O лежит на сфере с диаметром AB , отрезок AB виден Из
этой точки под прямым углом. Аналогично, стороны BC и AC треугольника
ABC видны из точки O под прямым углом. Значит, OABC – трёхгранный
угол, все плоские углы которого равны по 90o , поэтому внутри этого
трёхгранного угла заключена восьмая часть площади сферы. Если r – радиус
сферы, то 
· 4π r2 = 8π . Откуда находим, что
r = 4 .
Докажем, что треугольник ABC – остроугольный.
Обозначим
OA=x , OB=y , OC = z . По теореме Пифагора
Тогда
cos 
ACB = 
=
=
> 0.
Следовательно,
ACB < 
.
Аналогично для остальных углов треугольника
ABC . Таким образом,
косинусы углов треугольника
ABC положительны.
Обозначим
BAC = α ,
ACB = γ .
Пусть
R = 5
– радиус описанной окружности треугольника
ABC . По теореме синусов
sin α = 
= 
= 
,
sin γ = 
= 
= 
.
Тогда
cos α = 
= 
,
cos γ = ,
sin (α + γ) = sin α cos γ + cos α sin γ =
· 
+· =
.
По теореме синусов
AC = 2R sin (π-α - γ) = 2R sin (α+γ) = 10· =
5
,
SΔ ABC = 
AC· BC sin γ =
· 20· 5· = 150.
Пусть
K – проекция точки
O на плоскость треугольника
ABC . Обозначим
OK=h .
Выражая объём
V пирамиды
OABC двумя способами (
V=
SΔ ABC· h и
V = SΔ OAB· OC ), получим, что
h = 
= 
=
= 5.
Пусть
H – высота исходной пирамиды
SABC , опущенная из вершины
S . Поскольку
точка
S лежит в плоскости, параллельной основанию
ABC , а сфера касается
этой плоскости в точке
S , то либо
H = h+r , либо
H = h-r . Следовательно,
VSABC = SΔ ABC· H = SΔ ABC· (h 
r)=
· 150 (5 4) =
50(5 4).
Ответ
50(5 4) .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8848 |
