Задача 111186

Темы:    [ Площадь сферы и ее частей ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC , у которого AB=15 , BC=20 , а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 5 . На сторонах треугольника ABC как на диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке O . Точка O является центром четвёртой сферы, причём вершина пирамиды S есть точка касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости основания ABC . Площадь части четвёртой сферы, которая заключена внутри трёхгранного угла, образованного лучами OA , OB и OC , равна 8π . Найдите объём пирамиды SABC .

Решение

Поскольку точка O лежит на сфере с диаметром AB , отрезок AB виден Из этой точки под прямым углом. Аналогично, стороны BC и AC треугольника ABC видны из точки O под прямым углом. Значит, OABC – трёхгранный угол, все плоские углы которого равны по 90^o , поэтому внутри этого трёхгранного угла заключена восьмая часть площади сферы. Если r – радиус сферы, то · 4π r2 = 8π . Откуда находим, что r = 4 . Докажем, что треугольник ABC – остроугольный. Обозначим OA=x , OB=y , OC = z . По теореме Пифагора

Тогда
cos ACB = = = > 0.
Следовательно, ACB < . Аналогично для остальных углов треугольника ABC . Таким образом, косинусы углов треугольника ABC положительны. Обозначим BAC = α , ACB = γ . Пусть R = 5 – радиус описанной окружности треугольника ABC . По теореме синусов
sin α = = = , sin γ = = = .
Тогда
cos α = = , cos γ = ,

sin (α + γ) = sin α cos γ + cos α sin γ = · +· = .
По теореме синусов
AC = 2R sin (π-α - γ) = 2R sin (α+γ) = 10· = 5,

S_{Δ ABC} = AC· BC sin γ = · 20· 5· = 150.
Пусть K – проекция точки O на плоскость треугольника ABC . Обозначим OK=h . Выражая объём V пирамиды OABC двумя способами ( V=S_{Δ ABC}· h и V = S_{Δ OAB}· OC ), получим, что
h = = = = 5.
Пусть H – высота исходной пирамиды SABC , опущенная из вершины S . Поскольку точка S лежит в плоскости, параллельной основанию ABC , а сфера касается этой плоскости в точке S , то либо H = h+r , либо H = h-r . Следовательно,
V_SABC = S_{Δ ABC}· H = S_{Δ ABC}· (h r)= · 150 (5 4) = 50(5 4).

Ответ

50(5 4) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8848