Задача 111190

Темы:    [ Перпендикулярность прямых и плоскостей ] [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В тетраэдре ABCD двугранные углы при рёбрах BC и CD – прямые. Длина одного из рёбер тетраэдра в три раза больше длины не пересекающегося с ним ребра. Вершина конуса совпадает с одной из вершин тетраэдра, а окружность основания конуса описана около одной из граней. Найдите угол в осевом сечении конуса.

Решение

Плоскости граней ABC и ADC перпендикулярны плоскости грани BCD и пересекаются по прямой AC , значит, ребро AC – перпендикулярно плоскости грани BCD . Поэтому ACB = ACD = 90^o . Заметим, что вершина A не может служить вершиной конуса, о котором говорится в условии задачи, т.к. ребра, исходящие из этой вершины не равны между собой ( AD>AC , гипотенуза больше катета). Аналогично для вершин B и D . Следовательно, вершина конуса – точка C . Обозначим CA = CB=CD = a . Тогда AB = AD=a , значит, либо BD = 3a , либо BD= . Предположим, что BD = 3a . Тогда

AD=AB = a+a=2a < 3a = BD,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, BD= . Обозначим ABD = α . Тогда
cos α = = = , sin α = =.
Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника ABD (радиус основания конуса), ϕ – угол в осевом сечении конуса. По теореме синусов
R = = = .
По теореме косинусов
cos ϕ = = = = -.

Ответ

arccos (-) = 2 arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8872