Задача 111193

Темы:    [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a . Точка P – середина ребра CC1 , точка Q – центр грани AA1B1B . Отрезок MN с концами на прямых AD и A1B1 пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка.

Решение

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AD и A1B1 . Пусть точка X лежит на прямой AD , а точка Y – на прямой A1B1 . Известно, что геометрическое место середин отрезков XY есть плоскость, параллельная прямым AD и A1B1 и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка. В нашем случае это плоскость γ , проходящая через середину K отрезка AA1 параллельно грани ABCD куба. В этой плоскости лежат точки P и Q . По условию задачи точка E пересечения прямой MN с плоскостью γ – середина отрезка MN . Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость γ . Получим квадрат KLPF , где K , L и F – проекции точек A , D и B соответственно. Путь M' и N' – проекции точек M и N . По теореме о трёх перпендикулярах M'N' PQ , а т.к. ME=NE , то M'E=N'E . Обозначим M'E=N'E=x , KN'M'= QPF = α . Из прямоугольных треугольников PQF и KN'M' находим, что

PQ = = , cos α = = = ,

KN' = M'N' cos α = 2x· = .
Тогда QN' = KN'-KQ = - . С другой стороны QN' = = = . Из уравнения
- =
находим, что N'E= x= . Наконец, из прямоугольного треугольника NN'E находим, что
NE = = = .
Следовательно, MN = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8875