Задача 111207

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На сторонах BC и AD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) взяты точки P и Q . Сечения пирамиды SABCD двумя взаимно перпендикулярными плоскостями α и β , проходящими через прямую PQ , – трапеции с равными основаниями. Грань SAB образует угол с пересекающей её плоскостью сечения, а угол между граниями SAB и ABCD равен arctg 2 . Найдите площади сечений пирамиды плоскостями α и β , если PQ=13 .

Решение

Пусть α – та из плоскостей, которая пересекает грань SAB , и KL – отрезок, по которому они пересекаются (рис.1). Точки K и L не лежат на ребре AB (в противном случае плоскости α и ABC совпадают). Пусть точки K и L лежат на рёбрах SA и SB соответственно. если бы прямые LP и KQ были параллельны, были бы параллельны плоскости ASD и BSC (т.к. две пересекающиеся прямые KQ и AD одной из них были бы соответственно параллельны двум пересекающимся прямым PL и BC другой), Значит, KL || PQ . Плоскости α и ASB проходят через параллельные прямые PQ и KL и пересекаются по прямой AB , значит, PQ || AB . Отсюда следует, что AB=PQ = 13 . Аналогично получаем, что плоскость β пересекает грань SCD по отрезку RT , причём RT || CD . По условию задачи KL=RT . Это означает, что точки K , L , R и T делят боковые рёбра пирамиды в одном и том же отношении. Следовательно, они лежат в плоскости, параллельной плоскости основания пирамиды. Пусть E и F – середины рёбер AB и CD соответственно, O – центр квадрата ABCD , а M , N и G – середины отрезков соответственно PQ , KL и RT . Плоскость ESF перпендикулярна граням ASB , CSD и ABCD , т.к. AB ESF , CD ESF и SO ABCD . Значит,

SEF = SFE = arctg 2, MNE = , NMG = .
Из треугольника ENM (рис.2) находим, что
tg EMN = tg (π - - arctg 2) = tg (- arctg 2) = = = 3,
а т.к. NG || EF , то tg MNG = 3 . Пусть U – точка пересеченния высоты SO пирамиды с отрезком NG , MM1 – высота треугольника NMG . Обозначим NM1=x . Тогда
MM1 = NM1 tg MNM1 = 3x, M1G = = = 9x, NG = x+9x=10x,

SU = NU tg SNU = 2NU = 10x, SO = SU+UO = SU+MM1 = 10x+3x = 13x,
а т.к. SO = 2EO= EF =13 , то x=1 . Тогда
MN = = = x = , MG = 3MN = 3
– высоты трапеций KLPQ и PRTQ с основаниями PQ=13 и KL=RT=LR=NG = 10 . Следовательно,
S_KLPQ = (PQ+KL)· MN =(13+10)· = ,

S_PRTQ = (PQ+RT)· MG =(13+10)· 3 = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8889