ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111214
Условие
Внутри правильной треугольной пирамиды расположена
прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна
из граней призмы принадлежит основанию пирамиды,
другая грань – боковой грани пирамиды. Какой наибольший
объём может иметь призма, если ребро основания
пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 2 Решение
Боковая грань правильной пирамиды не параллельна и не перпендикулярна
плоскости основания, поэтому соседние боковые грани призмы лежат в боковой
грани и в основании пирамиды. Тогда одно из боковых рёбер, например, KK1 ,
призмы KLMNK1L1M1N1 лежит на ребре AB основания ABC правильной
пирамиды DABC , боковая грань KK1N1N призмы – на основании ABC пирамиды,
а боковая грань KK1L1L – на боковой грани ABD пирамиды.
Поскольку противоположные боковые грани призмы попарно параллельны, боковая
грань LL1M1M лежит в сечении пирамиды плоскостью, параллельной плоскости
основания. Пусть A1B1C1 – это сечение. Тогда из всех таких призм
наибольший объём имеет призма, у которой вершины M и M1 лежат на сторонах
соответственно A1C1 и B1C1 сечения A1B1C1 .
Пусть высота DH пирамиды пересекает плоскость A1B1C1 в точке O ,
P – середина стороны AB , F – середина A1B1 , E – проекция
точки F на плоскость ABCD .
Обозначим KL=KN = x , откуда находим, что y= причём равенство достигается, если 4x=5 Следовательно, искомое наибольшее значение объёма равно Ответ
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке