Задача 111220

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLMN , касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности. Найдите объём пирамиды, если MK= , NMK = , KML = 3 arctg , NML = - arctg .

Решение

По формуле

tg 3α = tg (α+2α) = = =
находим, что
tg KML = tg (3 arctg ) = = = =.
Назовём грань, которой сфера касается в центре вписанной окружности, основанием пирамиды и докажем, что точка M не может быть вершиной основания. Действительно, пусть это не так, т.е. сфера с центром O касается, например, грани MKL в центре Q её вписанной окружности, а граней MLN и MKN – в точках E и F соответственно. Если A и B – точки касания вписанной окружности треугольника MKL со сторонами соответственно MK и ML , то из равенства проямоугольных треугольников AMF и AMQ (по двум катетам) следует, что AMF = AMQ . Аналогично, BME = BMQ , а т.к. MQ – биссектриса угла AMB , то AMF = BME . В то же время, MB и ME – отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, поэтому, если T – точка пересечения с ребром MN плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые OE и OB , то прямоугольные треугольники FMT и EMT равны по двум катетам. Значит, FMT = EMT , а тогда
LMN = AMF + FMT = BME + EMT = KMN.
По условию задачи все плоские углы пирамиды KLMN при вершине M различны, следовательно, точка M не может быть вершиной основания. Таким образом, сфера касается грани KLN в центре P вписанной окружности треугольника KLN . Тогда
MKL = MKN, MLK = MLN, MNL = MNK,
поэтому высота MH пирамиды лежит на прямой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов при боковых рёбрах пирамиды. С другой стороны, на этой же прямой лежит и радиус OP сферы. Следовательно, точки P и H совпадают. Пусть X , Y и Z – точки касания сферы с гранями KLM , LMN и KMN соответственно. Обозначим XMK = ZMK = α , XML = YML = β , YMN = ZMN = γ . Тогда
2α + 2β + 2γ = NMK + KML+ NML=

= + 3 arctg + - arctg = π +2 arctg ,
откуда
β = (π +2 arctg -2(α+γ))= (π +2 arctg -2· )= arctg ,

α = KML - β = arctg - arctg ,

tg α = tg ( arctg - arctg ) = = ,

cos α = = = .
Пусть G – точка пересечения продолжения отрезка MX с ребром KL . Прямая KL перпендикулярна плоскости MPG , поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OX и MP этой плоскости, поэтому MG KL . Это означает, что вписанная окружность треугольника KLN касается его стороны KL в точке K . Аналогично, основания R и S высот MR и MS треугольников LMN и KMN – точки касания сторон LN и KN со вписанной окружностью треугольника KLN . Из прямоугольного треугольника MGK находим, что
MG = MK cos α = · =1.
Тогда
MR=MS = MG = 1, KS = KG = MG tg α = 1· = , LR = LG = MG tg β = 1· = ,

NR=NS = MS tg γ = MS tg (-α)= MS ctg α = 1· = ,

KL=KG+GL = + = , LN=LR+RN = +=,

KN = KS+SN = +=.
Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника KLN , s – площадь треугольника, p – его полупериметр, V – объём пирамиды KLMN . Тогда
p=++ = , s== , r = = = ,

MH = = = , V = s· MH = · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8902