Задача 111223

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Цилиндр ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В четырёхугольной пирамиде SABCD основанием является трапеция ABCD ( BC || AD ), BC = AD , ASD = CDS = . Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота которого равна 2, а радиус основания равен . Найдите объём пирамиды.

Решение

Если вершины A и D расположены на разных основаниях цилиндра, то по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью AB || CD , т.е ABCD – параллелограмм, а не трапеция. Пусть вершины A и D расположены на окружности одного основания цилиндра. Тогда медиана SM прямоугольного треугольника ASD равна половине гипотенузы AD , а значит, меньше радиуса окружности основания цилиндра, т.е. SM < . Значит, расстояние от точки S до плоскости этого основания меньше, чем , а т.к. высота цилиндра равна 2 и 2> , то точка S не может лежать на окружности другого основания. Значит, в этом случае, прямоугольный треугольник ASD вписан в окружность основания цилиндра, и тогда AD – диаметр окружности. В этом случае точки B и C лежат на окружности другого основания цилиндра. Пусть B1 и C1 – ортогональные проекции точек соответственно B и C на плоскость основания цилиндра, содержащую точки A , D и S . Поскольку CD SD , по теореме о трёх перпендикулярах C1D SD , а т.к. AS SD , то C1D || AS , значит, ASDC1 – прямоугольник. Поскольку B1C1 || BC , четырёхугольник AB1C1D – равнобедренная трапеция, поэтому AB1=DC1 = SA , значит, диаметр AD перпендикулярен хорде SB1 и проходит через её середину K . Отрезок SC1 – диагональ прямоугольника ASDC1 , поэтому SC1 – диаметр окружности основания цилиндра, SC1=AD = , а т.к.

B1C1 = BC=AD= · = ,
то
SK = SB1 = = =1.
По теореме о трёх перпендикулярах BK AD , т.е. BK – высота трапеции ABCD . Из прямоугольного треугольника BKB1 находим, что
BK = = = .
Следовательно,
S_ABCD = (AD+BC)· BK = (+)· = 3.
Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки S на прямую BK . Тогда SH – высота пирамиды SABCD , т.к. SH BK и SH AD . Записав двумя способами площадь треугольника BKS , получим, что
SH = = = .
Следовательно,
V_SABCD = S_ABCD· SH = · 3· =2.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8905