Задача 111251

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B₁ и C₁. Оказалось, что отрезок B₁C₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.

Решение

Так как B₁C₁ – диаметр окружности, то  ∠B₁BC₁ = ∠B₁CC₁ = 90°,  следовательно,  BC₁ || AC  и  CB₁ || AB  (см. рис.). Так как  BC₁ || AC,  то
∠C₁BA = ∠A = α.  Аналогично  ∠B₁CA = ∠A = α.  Градусная мера дуги B₁C₁ равна 180°, поэтому сумма вписанных углов C₁BA и B₁CA равна 90°, то есть  ∠A = 45°.

Ответ

45°.

Замечания

Ответ можно также получить, доказав, что треугольник CDB₁ – равнобедренный прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2008
класс
Класс	9
задача
Номер	3